INGENIOSA - MENTE
Las mentes creativas son conocidas por ser capaces de sobrevivir a cualquier clase de mal entrenamiento. Anna Freud.
lunes, 20 de junio de 2011
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EL PENSAMIENTO LATERAL
jueves, 30 de julio de 2009
La creatividad....
Sin embargo, como todo en la vida, ser creativo no es fácil; esto debido a la gran cantidad de barreras que la misma sociedad le ha impuesto a la creatividad, pues, en nuestra sociedad aún existen los más extraños prejuicios. Unos dicen que solamente personas de gran talento pueden ser creativas; otros afirman que para ello es preciso tener una “inteligencia especial” que permita recordar las fórmulas, teoremas, definiciones, etc. Claro, no se puede negar que existen cerebros con capacidades excepcionales para una u otra actividad mental, pero tampoco se puede afirmar que haya cerebros absolutamente incapaces de asimilar los conocimientos indispensables, que luego pueda potenciar y resolver situaciones de manera creativa.
El presente blog pretende motivar a sus lectores para que con ayuda de situaciones y problemas de razonamiento lógico y lateral, sean capaces de relacionar los diferentes esquemas del aprendizaje y así tener una buena estructura cognitiva. Pues, se ha demostrado, que el desarrollo de la creatividad está directamente relacionado con el éxito académico y profesional, ya que potencia la capacidad para comprender conceptos, proponer y aplicar algoritmos, desarrollar nuevas aplicaciones de lo que ya existe, ect.
En conclusión, consideramos que si una persona aprende a potenciar su saber puede relacionar sus conocimientos con otras áreas y de esta manera crear conocimiento, es decir, ser creativo.
RAZONAMIENTO MATEMATICO
Los ejercicios de razonamiento matemático miden la habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra y la Geometría. Se ha demostrado que ambas habilidades se relacionan con el éxito en las materias que se estudian en el nivel universitario.
Habilidad Matemática es aquella en que el aspirante es capaz de comprender conceptos, proponer y efectuar algoritmos y desarrollar aplicaciones a través de la resolución de problemas. En estas se consideran tres aspectos.
En Aritmética, operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) con números enteros y racionales, cálculos de porcentajes, proporciones y promedios, series numéricas y comparación de cantidades.
En Álgebra, operaciones fundamentales con literales, simplificaciones de expresiones algebraicas, simbolización de expresiones, operaciones con potencias y raíces, factorización, ecuaciones y funciones lineales y cuadráticas.
En Geometría, perímetros y áreas de figuras geométricas, propiedades de los triángulos (principales teoremas), propiedades de rectas paralelas y perpendiculares y Teorema de Pitágoras.
TÉCNICAS: CÁLCULO MENTAL
La calculadora es una muy buena herramienta que muchas veces es necesaria pero eso no debería ser excusa para dejar de ejercitar radicalmente la mente desde que se nos permite su uso en la escuela en edades cada vez más tempranas. Sería como dejar de hacer ejercicio por el hecho de disponer del coche.
Si dejásemos de hacer ejercicio y de caminar por “comodidad” resultaría que el día que quisiéramos echar mano de nuestras piernas éstas no estarían preparadas para soportar nuestro peso. Eso mismo es lo que ocurre si dejamos de usar nuestra mente y nos acomodamos más de la cuenta. Los niños recurren a la calculadora para realizar una multiplicación simple o para hacer sencillas sumas, si se han equivocado al escribir los cálculos y el resultado es un disparate normalmente les pasa desapercibido.
Algunas personas recurren a los dedos para realizar sumas y restas. Pero está claro que este sistema no es precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida.
Conociendo unos sencillos trucos mejorará nuestra actitud frente a muchas operaciones matemáticas, incrementaremos nuestra agilidad mental y como no, sorprenderemos a los que nos rodean. No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración.
Desarrollo del cálculo mental
1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar.
La tabla de multiplicar
Multipliquemos con los dedos de las manos
Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique.Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente.Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho más claro.
Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo
Cálculo pensado multiplicativo
Resultados aproximados
Raíces cúbicas enteras
Cáculo mental
Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.
Calcular 456 + 155:
456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda)
456 + 155 = 456 + 4 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera)
456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)
876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)
876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))
876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)
634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)
Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.
Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.
La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.
Ejemplo: multiplicar 376 × 125
Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.
376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.
Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.
Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10
Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1, se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99
28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772
Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121
121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477
Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:
Multiplicar:
12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795
8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.
Multiplicación por 37
Primero, basta recordar lo siguiente:
37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1
El procedimiento es este:
Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74.
Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.
Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.
En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.
Se suma todo.
3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478.
Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos:
37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998
37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923
37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923
Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.
Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:
74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476
111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)
148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904
Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857... basta con tomar seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):
142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449
Igualdades notables y cálculo de cuadrados
Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) (a - b) = a² - b²
Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras
Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.
(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
Más ejemplos:
17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289
76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776
95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025
Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y una decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:
2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento, pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:
5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6.724 = 33.431.524
Producto de dos números que equidistan de un número cuyo cuadrado es conocido
El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.
(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596
Más ejemplos:
77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400 - 9 = 6391
95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000 - 25 = 9975
128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19800 - 144 = 19656
Cuadrado de un número acabado en 5
El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5:
(a + 5) (a - 5) = a² - 25
Por tanto, se tiene que:
(a + 5) (a - 5) + 25 = a²
Si a = 65, el resultado es el siguiente:
65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.
Más ejemplos:
35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225
105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025
255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025
En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.
Cubos y potencias superiores
El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:
954 = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda cifra de 9025 sea un cero)
Cálculo de logaritmos (en base 10)
Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo siguiente:
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) no existe
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(7) ~ 0,85
log(10) = 1
Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que la función logaritmo es creciente.
A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número del 1 al 9:
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78
log(7) ~ 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a 0,95)
log(10) = 1
El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 101. En general, tendremos un número de la forma a × 10b, donde a es un número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5) ~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso, una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10-2. Hay que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.
Verificar el resultado
Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:
Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un número de cifras igual, o una unidad mayor (según el caso) que la suma de las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25, o viceversa.
Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:
7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es 4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.
Conclusión
En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor agilidad en el cálculo mental, es útil:
Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por 3.
Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final es 234.
Trucos psicotécnicos
“Aquí vienen ciertos trucos para la mejor realización de los test psicoténicos, además de estos trucos vienen ciertas explicaciones sólo a efectos de recordar cómo se hacen o formas de agilizarlas, en todo caso, habrá de entenderse esto como una alternativa diferente a la habitual para realizar diferentes ejercicios, en algunos casos se sutituye una forma relativamente compleja por varias sencillas, con lo que se podría realizar o bien mentalmente o más rápido que en otros casos. Sin embargo hay que decir que algunos ejercicios necesitan ser trabajados, se aprenden rápido pero cuanto más se trabajen mejores resultados se pueden obtener”.
MATEMÁTICOS
1. Calcular el 50% es igual a dividir por 2 (el 50% de 350 = 175)
2. Calcular el 25% es igual a dividir por 4 (el 25% de 350 = 87,5)
3. Multiplicar por 0,5 es igual a dividir por 2 (350 x 0,5 = 350 : 2 = 175)
4. Multiplicar por 0,25 es igual a dividir por 4 (350 x 0,25 = 350 : 4 = 87,5)
5. Dividir por 0,5 es igual a multiplicar por 2 (350 / 0,5 = 350 x 2 = 700)
6. Dividir por 0,25 es igual a multiplicar por 4 (350 / 0,25 = 350 x 4 = 1400)
7. Para multiplicar por 5 se añade un cero a la cantidad y luego se divide entre dos(350 x 5 = 3500 : 2 = 1750)
8. Para dividir entre 5 se divide la cantidad entre 10 y luego se multiplica por dos(350 : 5 = 35 x 2 = 70)
9. Multiplicación por once (x 11). Una forma de multiplicar por 11, es primero hacerlo por 10 y luego sumarle el número a multiplicar:3.719 x 11 = 3.719 x 10 + 3.719 = 37.190 + 3.719 = 40. 909.
10. Multiplicación por once (x 11) 1º La última cifra de la cantidad a multiplicar será la última cifra del resultado2º Se suman los dos últimos dígitos y su resultado será el penúltimo dígito del resultado, si da un resultado de dos dígitos se pone el último de ellos y el primero se lleva3º Se suman el penúltimo dígito y el siguiente más el resto (si lo lleva)4º Se suman el antepenúltimo dígito y el siguiente (más el resto)5º Se sigue el mismo proceso hasta llegar al último dígito, suponiendo que ya sea este se pone directamente como primera cifra, si llevamos resto habría que sumárselo.
11. Multiplicación por 11 (x 11). Otra forma de multiplicar por once sería hacerlo primero por diez y luego sumarle el número 3.719 x 10 = 37.190 + 3.719 = 40.909
12. Multiplicación por quince (x 15)
1º Se divide entre 2 el número a multiplicar
2º Se suma el número a multiplicar con el resultado de la operación anterior
3º Se multiplica por 1046 x 15 46 :2 = 2346 + 23 = 69 x10 = 690
13. División entre quince (:15)
1º Se divide entre diez al número
2º Ahora se divide entre 3
3º Se multiplica entre dos 2.580 : 10 = 258 : 3 = 86 x 2 = 172 3.000 : 10 = 300 : 3 = 100 x 2 = 20014. Multiplicación por veinticinco (x 25)
1º Se divide el número a multiplicar entre 4
2º El resultado se multiplica por 100
3º 42 x 25 = 42 : 4 = 10´5 x 100 = 1.050 3.753 x 25 = 938 ´25 x 100 = 93.82515. División entre 25 (: 25)
1º Se divide entre 100
2º Se multiplica por 48150 : 100 = 81´5 x 4 = 326
16. Multiplicación de números de 2 cifras:
1º Multiplicamos las últimas cifras (último dígito del resultado, si son dos se lleva la primera cifra)
2º Multiplicamos en cruz (lo que indica el propio signo de multiplicación), el segundo dígito del resultado
3º Multiplicamos las 2 primeras cifras (el primer o primeros dígitos del resultado)
17. Multiplicación de dos términos terminados en la misma cifra
1º Se multiplican los dos últimos dígitos entre sí, su resultado será la última cifra
2º Se suman los dos primeros numeros entre sí y se multiplican por el último término (si acaba en uno, por uno, si acaba en dos por dos, etc.), si de esta multiplicación quedaran dos términos se cogerá el último como penúltimo dígito del resultado y el primero se llevaría.
3º Se multiplican las primeras cifras y se suman las que se llevan, si se lleva alguna, el resultado serán las dos primeras cifras
18. Para multiplicar 2 cifras de dos dígitos cada una y terminados en 5
1º Se suman los dos primeros dígitos de ambas cifras2º Su resultado de divide entre 2 (si la cifra es par terminará en 25 y, si es impar en 75)
3º Se multiplican los dos primeros dígitos y a su resultado se le suma la cantidad del 2º caso y lo que dé, serán las dos primeras cifras.
19. Multiplicación de potencias de dos dígitos
1º Se multiplican los últimos dígitos, cogemos el último número y llevamos el primero
2º Multiplicamos los términos entre sí y luego por 2, cogemos el el último número y llevamos el primero.
3º Multiplicamos por sí misma la primera cifra
20. Potencias de 2 dígitos acabados en 5
1º Siempre van a acabar en 25, estas serán siempre los dos últimos dígitos
2º El primer dígito se multiplicará por el inmediatamente superior, es decir, si es el 3 se multiplicará por el 4, si es el 7 por el 8, si es el 9 por el 10, etc. y el resultado serán las dos primeras cifras.
21. Multiplicación de dos números comprendidos entre 90 y 100 (ambos números)
1º Se calcula en ambos números la diferencia que hay al cien, quedarán dos números, uno por cada multiplicando, se suman estos números entre sí
2º Con el resultado se calcula la diferencia que hay al cien y serán los primeros 2 dígitos
3º Se multiplican los números que resultaron del primer paso entre sí y el resultado serán las últimas 2 díg., si el resultado fuese un solo dígito se le pondrá un 0 delante, es decir, si da nueve se entenderá que es 09
22. Cuando estamos apurados intentando calcular algo, a veces, no nos damos cuenta de los detalles más tontos, por eso, cuando se multiplica, si se repite un número en la multiplicación, no lo multipliques dos veces, es decir, si aparece el nº 4.547 x 7.572, el 7, lo multiplicas una vez y cuando llegues al otro siete, sólo tienes que copiar la operación del primero o bien ¿quién no ha multiplicado alguna vez por uno en vez de poner la cifra directamente?, en fin, hay que tratar de evitar estas pérdidas de tiempo
23. Si ponen una multiplicación cualquiera, quizás no sea necesaria realizarla, por ejemplo, si nos dicen de multiplicar 523 x 937, nos fijamos en las últimas cifras el 3 y el 7 que multiplicados son 21, es decir, que sea el número que sea tiene que acabar en uno, si entre las respuestas sólo hay una cantidad que acabe en uno, habrá de ser esta.
24. En relación con el anterior, también puede valer el cálculo aproximado, por ejemplo, en vez de multiplicar el 523 x 937 (=490.051), hagámoslo así, 523 x 900 = 470.700, si las cantidades que hay como respuestas son muy dispares, puede servir este truco, sobretodo en conjunción con el anterior.
25. Si además tienen decimales, a veces, no hace falta más que mirar cuántos son éstos, por ejemplo, si nos dicen multiplicar 35´42 x 52´27 el resultado tiene que tener cuatro decimales, dos por cada cantidad, hay que tener cuidado que, si el resultado acaba en 0 este se puede suprimir.
26. Cuando nos hacen la típica pregunta de: un padre tiene 45 años, y su hijo 13, ¿cuántos años tendrán que pasar para que el padre duplique la edad del hijo?, la fórmula sería:E + X = 2 (e + X)45 + X = 2 (13 + X);45 + X = 26 + 2X;45 - 26 = 2X - X;19 = X19 + 13 = 32 19 + 45 = 6427.
28. Siempre que la suma de impares sea impar, el resultado será impar.3 + 5 + 8 + 9 + 2 = 27 resultado impar por haber 3 impares y 2 pares- PORCENTAJES -29. Para calcular el % de una cantidad se multiplica por 100 el porcentaje y el resultado, se multiplica por la cantidad. (el 15% de 3.500, 15 : 100 = 0´15 x 3.500 = 525)El 45% de 2.000 = 0´45 x 2.000 = 90030. Si nos dan 2 cantidades y hay que hallar el porcentaje que hay entre ellas, hay dos formas, pero ésta, es la más rápida. Se restan las dos cantidades y se hace una regla de tres simple con la cantidad resultante y la mayor de las dos cantidades iniciales, el resultado es el porcentaje que las separa.Algo costaba 30.000 € y ahora cuesta 23.000 € ¿Cuál es el tanto por cien que me descontaron?30.000 - 23.000 = 7.00030.000 -------- 1007.000 -------- XX = 700.000/30.000 = 23´33 % C-c=d// x=d·100/CSi se quiere calcular la cantidad pagada, se resta al 100% el resultado = 76´67%31. Calcular en qué cantidad se convierte otra si se le aumenta o disminuye un porcentaje, hay dos formas:Si a 327 € le aumentamos un 37% ¿En qué cantidad se convierte?1ª el 37% de 327 = 120´99327 + 120´99 = 477´992ª (+ Rápido)327 ------- 100% X ------- 137% X= 327 · 137 / 100 = 477´99C·(100+%)/10032. Calcular una cantidad conociendo el tanto por ciento El 32% de una cantidad es 536. Calcula dicha cantidad32 % ------ 536100% ------ XX= 53600/32= 1.675 C·100/%- REPARTO PROPORCIONAL -33. - Si se quiere repartir en partes directamente proporcionales 1.520 € a 3, 5 y 23X + 5X + 2X = 1.520 10X = 1.520X = 1.520/10 = 1523X = 3 · 152 = 4565X = 5 · 152 = 7602X = 2 · 152 = 30434. - Reparto directo de 15.600 a 2/5, 4/3 y 1/42X/5 + 4X/3 + 1X/4 = 15.60024X + 80X + 15X = 936.000119X = 936.000X = 936.000/119 = 7865´52X/5 = 2/5 · 7865´5 = 3.146´24X/3 = 4/3 · 7865´5 = 10.487´31X/4 = 1/4 · 7865´5 = 1.966´335. - Repartir 58 en directamente a 6 y 8 e inversamente a 2 y 3 (inverso de 2 y 3 = 1/2 y 2/3)Se multiplican los términos de la serie directa por los de la serie inversa6 · 1/2 = 6/2 8 · 1/3 = 8/36X/2 + 8X/3 = 589X + 8X = 174 17X = 174X = 174/17 = 10´2356X/2 = 6 · 10´235/2 = 30´7068X/3 = 8 · 10´235/3 = 27´294 - SERIES -En las series de números, se plantean varios números y entre ellos hay alguna lógica, por lo normal desbes descubrir cuál es el número qué sigue, en otras ocasiones debes decir el segundo número o los dos últimos, el número que sobra, alguno que falta en medio, etc., las series pueden ser de números, letras, fichas de dominó, cartas de la baraja, etc. todos son lo mismo, lo único que hay que tener en cuenta es en que base trabajan, con los números son infinitos, pero las letras son 27 (sin contar la “ch”, y la “ll”), que las fichas de dominó trabajan en base 6, etc.36. Puede ser una sucesión de números: 1 - 2 - 3 - 4 - ?;2 - 4 - 6 - 8 - ?;3 - 5 - 9 - 11 - ? hay que fijarse de que esta sucesión puede ser de un numero contreto, como puede ser de dos en dos, de 15 en 15 etc, también por numeros pares o impares, etc.37. Puede ser que sume o reste una cantidad concreta: 1 - 6 - 11 - 16 - ?;25 - 28 - 34 - 43 - ?esta suma puede ser doble, es decir, que además de sumar un número, éste también se sume: en la segunda serie vemos que del 25 al 28 hay 3 y del 28 al 34 hay 6 (3+3) y del 34 al 43 hay 9 (3+3+3)38. Dentro de las sumas, también se pueden sumar con el anterior: por ejemplo en la serie 1 - 2 - 3 - 5 - 8, vemos un 1 que sumándole el 2 da 3, éste sumado con el 2 da 5 etc., vendría quedando así: 1 + 2 = 3 + 2 = 5 + 3 = 8 y si siguiéramos 5 + 8 = 13En vez de sumar se pueden restar, multiplicar o dividir 2 - 2 - 4 - 8 - 32 - 256Cuando en una serie los números ascienden demasiado es porque hay multiplicación.39. Hay series de este tipo:4 - 9 - 16 - 25 - 36;9 - 27 - 81 - 243;3 - 5 - 9 - 17 - 33en la primera serie sería: 22 - 32 - 42 - 52 - 62, en la 2ª: 32 - 33 - 34- 35 y en la tercera serie: 2x2=4-1=3x2=6-1=5x2=10-1=9x2=17x2=34-1=33, o sea, x2 y -140. En todos los casos se suelen complicar intercalando varias series, no suelen ser más de dos series, aunque si hay muchos números puede haber una tercera serie, por ejemplo:25 - 1 - 28 - 2 - 34 - 3 - 43 - ?A veces, intercalan un número fijo, 25 - 25 - 28 - 25 - 34 - 43 - 25 - ?Hay muchas otras formas de crear series, cuantas más conozcas más rápidamente podrás encontrar la solución por lo que sería conveniente continuar buscando posibles sistemas de series.- MEMORIA -41. Este es un truco que hay que trabajarlo pero que es muy efectivo una vez asimilado. Consiste en asignar a cada número un objeto, una persona o algo que se familiarice con dicho número, por ejemplo, el 1 lo podemos familiarizar con una chimenea, con un lápiz, etc., por su forma, también con la luna, con Dios, etc. porque hay uno, en fin, tú buscas la analogía que mejor se aproxime a ese número para poder recordarlo siempre. 42. Otra forma de buscar palabras es asignándole a cada dígito una sola letra, esta letra debe ser consonante y con ella formar las palabras según el número que se trate. Por ejemplo:Vamos a asignar al nº 1 la letra L, al 2 la D, al 3 la M, al 4 la R,al 5 la S, al 6 la G, al 7 la T, al 8 la B, al 9 la P y al 0 la C, (hay letras que podrían ser más exactas al número, pero podrían dificultar luego el ejercicio). Una vez asignadas las letras a los números sólo es buscar las palabras adecuadas formándolas con estas letras, así podría quedar que el número 10 fuese LoCo, la L por el 1 y la C por el 0, las vocales son lo de menos, el 33 MoMia, el 74 ToRo, etc.Sería conveniente llegar hasta el nº 100, de esta manera luego los trucos con números serían mucho más fáciles.43. Podemos acordarnos de los números, imaginémonos que nos dan para recordar el número: 9 5 5 6 3 2 2 1 4 5 6 7 8 5 6 3 2 1 5 4, podríamos pensar en lo siguiente:"Una nube agarrada por 2 manos que están encima de un sofá y son de un coronel, tiene a su lado un cisne (22) y en la cola de éste y muelle (14) sujeto por una mano, que está apoyada en otro sillón, al lado una bola de cristal que tiene unas gafas sujetas por otra mano y ésta apoyada en otro sillón y otro coronel que está en un camión con la mano en una mesa."Bien, es cierto que, para acordarse de esto es un rollo, pero creo que si nos dan poco tiempo para recordar un número de 20 dígitos como es este, sería mejor utilizar algún sistema, y este es uno. El mayor problema que presenta es que es secuencial, es decir, que necesitas ir uno a uno para recordar el número, que si te preguntan: ¿cuál es el quinto número o el décimoquinto o el décimonono? será bastante difícil recordarlo sin ir uno a uno o desde algún número clave, sí, no sería mala idea cada cinco unidades saber que tienes uno clave y también dividir las cifras de 10 en 10 o algo así.- PERCEPCIÓN LÓGICA - Si nos ponen ejercicios del tipo: a la palabra COMENDADORA le corresponde el número 12345676287, ¿qué número corresponde a la palabra REDOMADA?a) 84627367 b) 84623776 c) 84623767 d) 4862376744. Fíjate que, sólo la “d” no empieza por 8, miramos la R y vemos que equivale a 8, por lo que la “d” queda descartada.En las demás respuestas, todas empiezan por el 8462, por lo que no vamos a mirar estos números (con lo que ahorramos mucho tiempo), ahora podemos hacer dos cosas, vemos que la “b” y la “c” siguen con 37 y por otro lado que la “a” y la “c” terminan en 7, como en el 37 también hay un 7 mejor miramos este número y así matamos dos pájaros de un tiro, vemos que el 7 equivale a la A, por lo tanto la “b” queda descartada, pues termina en 6 y este número equivaldría a la letra D. Ahora sólo quedan como posibles respuestas la “a” y la “c”, como las cuatro primeras letras -8462- no nos interesan vemos que en la respuesta “a” le sigue un 7 ,que sabemos que es una A y en la respuesta “c” vemos que hay un 3, que no sabemos a que letra corresponde, pero no importa pues como sabemos a que letra corresponde el 7 comprobaremos esta respuesta y.- VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES - 45. Variaciones: son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto en el que importa el orden. Es muy sencillo, si nos dicen que hay 10 bolas de colores y que tenemos que ordenarlas en grupos de 3 y preguntan cuántos de estos grupos podremos formar haremos asi:V10,3= 10 · 9 · 8 = 720, como se ve, se parte de la cantidad total y se calcula un factorial (n!) del número de elmentos de la variación, en este caso tres.46. Permutaciones: es saber de cuántas formas podemos ordenar algo, es decir, si tenemos 5 bolas, cada una de un color diferente y queremos saber cuántas filas diferentes podemos ordenar (rojo, verde, azul, gris, blanco o verde, azul, gris, blanco, rojo, etc.), para ello se halla el factorial del número total de opciones (Pn!), en el caso de las bolas sería:P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 posibilidades47. Combinaciones: esto viene a ser una variación partido por una permutación, no importa el orden¿Cuántas parejas se podrían formar con 20 personas?1º Tenemos un conjunto de 20 elementos y tenemos que cogerlos de 2 en 22º No importa el orden, es la misma pareja Juan y Rosa que Rosa y Juan3º C20,2 = V20,2/P2 = 20 · 19/2 · 1 = 190 parejas(el factorial - n! - es la multiplicación de un número por todos los números menores que él, es decir, el factorial de 6 es: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6)